Atbasch: der erste Buchstabe ersetzt den letzten (a für Z), der zweite den zweitletzten (b für y) etc. Der Name selbst
sagt dies: in unser Alphabet übersetzt, ergäbe das hebräische Atbasch Azby.
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B
A
Amplitude:
der grösste Wert einer periodisch veränderlichen Grösse. Wird auch als Schwingungsweite bezeichnet.
Axiom: eine Aussage, die wir als wahr annehmen, ohne sie beweisen zu müssen.
Caesarverschiebung: eine Art von Substitution, bei der jeder Buchstabe des Alphabets durch den Buchstaben ersetzt wird,
der eine feste Anzahl Stellen später im Alphabet kommt. Caesar
selber, der um das Jahr 0 lebte, hat jeweils eine Verschiebung von 3 benutzt. Natürlich ist auch
jede andere Zahl möglich.
Definition: eine Definition legt fest, wie eine symbolische Abkürzung benützt werden soll.
Dido: die Begründerin der Stadt Karthago. Sie wanderte etwa 800 v.Chr. aus Phoenizien aus. Ihre Geschichte
wird immer wieder neu erzählt, u.a. 300 v.Chr. vom Historiker Timaeus von Turomenium, von Vergil etwa
200 n.Chr., im Mittelalter von Petrarch, Ovid und Boccaccio, um 1800 von Charlotte
von Stein, die man heute nur noch als Freundin von Goethe kennt. Die neuste, sehr kurz
gehaltene Version ist in Mathematica Ludibunda erschienen.
Dreieck: ein Polygon mit genau drei Seiten. Die drei Winkel
ergeben 180°.
Kennt man eine Seite des Dreiecks und die dazugehörige Höhe,
so kann man seine Fläche wie folgt berechnen:
F = ½ × c × hc
wenn zum Beispiel die Seite c und die Höhe auf c (hc) gegeben sind.
Die Fläche kann auch berechnet werden, wenn alle drei Seiten gegeben sind.
Es gilt dann:
F = √s(s-a)(s-b)(s-c), wobei s = ½(a+b+c)
Auch die Trigonometrie liefert verschiedene Möglichkeiten zur Flächenberechnung.
Sind zum Beispiel die Seite a und die Winkel des Dreiecks gegeben, so lässt sich
die Fläche nach der folgenden Formel berechnen:
F = a²sinβsinγ ÷ 2sinα.
Oder bei zwei gegebenen Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel:
Element: ein Bestandteil einer Menge. Der Zürichsee ist zum Beispiel
Element der Menge der Gewässer.
Endliches System:
ein mathematisches System mit einer beschränkten Zahl von Elementen. So hat zum
Beispiel das Uhrensystem, das wir täglich benützen, genau zwölf Ziffern. Alle weitern
natürlichen Zahlen sind kongruent zu genau einer dieser Ziffern. Ein anderes Beispiel ist
das Alphabet mit seiner beschränkten Anzahl von Buchstaben.
Die modulare Arithmetik beschreibt die Gesetze von endlichen Systemen.
Entziffern: den verborgenen Sinn einer verschlüsselten Bootschaft herausfinden. Ist der Schlüssel bekannt,
ist dies meistens leicht. Sonst kann es ziemlich schwierig bis unlösbar werden.
Frequenz: entspricht der Anzahl Perioden pro Zeiteinheit. Die Anzahl Schwingungen pro Sekunde wird in Hertz
angegeben.
Eine Frequenz von einem Hertz (abgekürzt Hz) haben wir also, wenn eine Welle in einer Sekunde genau eine
Periode hat. Haben wir 5 Perioden pro Sekunde, so entspricht das einer Frequenz von 5 Hz.
Funktion: eine Rechnungsanleitung, die uns sagt, nach welcher Formel wir den Wert einer
Variabeln bestimmen können.
Ist ein Bruder drei Jahre älter als seine Schwester, so können wir
die Beziehung zwischen ihrem Alter so beschreiben:
y = x + 3, wenn y das Alter des Bruders und x das Alter der Schwester ist.
Diese Gleichung nennt man auch Funktionsgleichung.
Die Abhängigkeit des Alters der beiden Kinder kann man als Funktion so
schreiben:
f(x) = x + 3
Damit wird ausgedrückt, dass der Funktionswert f(x) vom Wert abhängt,
der für x eingesetzt wird. Schauen wir also das Alter an, wenn x=15 ist,
so ist der Funktionswert 15 + 3 = 18. Wenn die Schwester 15 ist, muss also der
Bruder 18 sein.
Dieser Zusammenhang kann in einer Wertetabelle dargestellt werden.
Links sind die x eingetragen, rechts die dazugehörigen y.
x
y
1
4
2
5
3
6
...
...
49
52
...
...
Eine andere Möglichkeit, um den Zusammenhang zwischen x und y zu zeigen, ist die graphische Darstellung.
Wir zeichnen ein Koordinatensystem, nehmen als x-Achse das Alter der Schwestester,
als y-Achse das Alter des Bruders. Nun zeichnen wir die Werte aus der Wertetabelle ein, und
bekommen so eine graphische Darstellung der Funktion f(x) = x + 3.
Der Graph der obigen Funktion ist eine Gerade. Es gibt auch viele andere Formen bei Graphen.
Bei trigonometrischen Funktionen, zum Beispiel, entstehen Kurven.
Auch die Fuzzy Logik
arbeitet mit graphischen Darstellungen.
Geheimtext: die verschlüsselte Nachricht. Kann auf einem oder mehreren Geheimtextalphabeten aufgebaut sein.
Um diese festzulegen wird ein Schlüssel benützt.
Gleichschenkliges Dreieck: ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich lang sind. Die Höhe hc lässt sich mit Hilfe
des Satzes des Pythagoras leicht berechnen, so dass es zur
Flächenberechnung nur die beiden Seitenlängen braucht.
F = c × hc
c = √a² - (c/2)²
Gleichseitiges Dreieck: ein Dreieck, bei dem alle Seiten gleich lang sind und die Winkel gleich gross. Mit
dem Satz des Pythagoras kann die Höhe ha berechnet werden, so
dass wir die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks bestimmen können, wenn wir die Seitenlänge
a kennen.
ha = a√3/4
F = a × ha
F = a²/4√3
Hertz: die Masseinheit der Frequenz; gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an.
Kehrwert: oder auch Umkehrung. Bei einem Verhältnis von zwei Zahlen sprechen wir von einer Kehrwert, wenn die
Reihenfolge der beiden Zahlen umgekehrt wird. Der Kehrwert von 1/5 ist also 5/1.
Bei Funktionen gibt es manchmal Umkehrfunktionen. So ist zum Beispiel die Addition die Umkehrfunktion der
Subtraktion, die Multiplikation die Umkehrfunktion der Division. In der
modularen Arithmetik sind diese Funktionen nicht mehr Umkehrfunktionen.
Der Tangens eines Winkels entspricht dem Kehrwert des Kotangens; Du kannst den Graph dieser beiden
Funktionen vergleichen, für die gilt: tanα=1/cotα.
Klartext: die noch unverschlüsselte Nachricht. Das Klartextalphabet ist
unser übliches Alphabet. Es wird mit kleinen Buchstaben geschrieben, während das Geheimtextalphabet,
in dem der Geheimtext geschrieben ist, gewöhnlich gross geschrieben wird.
Kongruent: in der Geometrie werden zwei Körper als kongruent bezeichnet, wenn sie die gleiche
Form und Grösse haben. In der modularen Arithmetik heissen zwei Zahlen kongruent in modulo m,
wenn sie nach der Division durch m den gleichen Rest haben. Auf der Uhr kannst du dir
kongruente Zahlen so vorstellen, dass der Zeiger zur gleichen Ziffer zeigt.
Beispiel: In mod 4 ist 5 kongruent zu 1; da 5:4=1 Rest 1 und 1:4=0 Rest 1.
Oder anders ausgedrückt: Egal ob der Zeiger nun eine Stunde von 0 aus hinter sich gebracht
hat oder fünf Stunden, beidemale zeigt er in mod 4 auf die Ziffer 1.
siehe auch das Kapitel über die modulare Arithmetik
Koordinatensystem: ermöglicht es, jedem geometrischen Punkt der Ebene ein Zahlenpaar zuzuordnen. Dazu benützt
man zwei sich schneidende Achsen. Der Schnittpunkt wird als Ursprung bezeichnet. Die horizontale Achse
heisst gewöhnlich x-Achse und nimmt nach rechts zu. Die vertikale Achse, die y-Achse, nimmt nach oben
hin zu. Die Skalen der beiden Achsen müssen nicht gleich sein. Dem Schnittpunkt werden die
Koordinaten (0,0) zugeordnet, das heisst, sein x- und sein y-Wert ist 0.
Links vom Ursprung sind die x-Koordinaten negativ. Bei der y-Achse sind die Koordinaten unterhalb
des Ursprungs negativ.
Dies ergibt eine Vierteilung der Koordinaten. Im ersten Quadranten sind x- und y-Koordinaten positiv,
im zweiten sind die x-Koordinaten negativ und die y-Koordinaten positiv, im dritten sind beide negativ
und im vierten ist die x-Koordinate positiv und die y-Koordinaten negativ.
Schau dir das Koordinatengitter an. Du kannst dir einzelne Punkte auswählen und die dazugehörigen
Koordinaten studieren.
Fermat und Descartes entwickelten die
Idee des Koordinatensystems.
Kreis:
der Kreis ist definiert durch die
Menge aller Punkte, die von einem Zentrum aus den gleichen Abstand haben. Der
Abstand wird als Radius r bezeichnet.
Umfang und Fläche des Kreises sind nur vom Radius abhängig. Für die Formeln
kannst du dir die Abbildung anschauen.
Bei gegebenem Umfang hat der Kreis die grösste Fläche von allen geometrischen Körper.
Siehe Dido und Descartes.
Kryptographie: die Wissenschaft von verschlüsselten Nachrichten. Das griechische "cryptos"
heisst "verborgen", und "graphein" bedeutet "schreiben". Im Gegensatz zur Steganographie
muss die geheime Nachricht nicht versteckt sein. "Verborgen" ist die Bedeutung der Nachricht,
und nicht die Nachricht selber.
Mathematica Ludibunda: Mathematica Ludibunda ist lateinisch und bedeutet "spielerische Mathematik".
Mathematica heisst nicht einfach Mathematik. Es ist noch gar nicht
lange her, dass zur Mathematik auch Physik, Astronomie, Musik, Philosophie und Kunst
gehörte. Das griechische Wort "mathema" heisst Wissenschaft im Allgemeinen.
Das Buch hat diesen Namen nicht nur bekommen, weil viele spielerische Elemente den
Text auflockern, sondern auch weil es einfach und anschaulich ist, so dass
man Mathe spielend lernen kann. Lass dich vom Wort Mathe nicht abstossen: unser Buch
enthält Beiträge zu ziemlich all den Bedeutungen, die mathematica haben kann.
Menge: eine Sammlung von Elementen, die ein bestimmtes Kriterium erfüllen.
Zum Beispiel gehört ein Apfel zur Menge der Äpfel. Hier ist das Kriterium, ein
Apfel zu sein; die Elemente sind die einzelnen Äpfel. Eine Birne erfüllt das
Kriterum der Menge der Äpfel nicht, gehört also nicht in diese Menge.
Ein anderes Beispiel ist die Menge der Ziffern, die zur Viereruhr gehören. Die Elemente dieser Menge sind
0,1,2 und 3.
Modulare Arithmetik: ein mathematisches System mit einer beschränkten Zahl von Elementen.
Wir schreiben mod m, wenn das System genau m verschiedene Elemente hat.
Modulo 5 zum Beispiel hat als Elemente die Zahlen 0,1,2,3 und 4.
Alle weiteren natürlichen Zahlen sind als kongruent zu genau einem dieser
Elemente definiert. Lies mehr über die modulare Arithmetik bei Smart Joe.
Monoalphabetische Verschlüsselung: jedem Buchstaben des Alphabets wird ein anderer Buchstabe zugeordnet. Diese Substitution
bleibt über den ganzen Text erhalten (mono=eins), im Gegensatz zur polyalphabetischen Verschlüsselung
(poly=mehr als eins).
Ein Beispiel dazu: Wählen wir als Schlüssel das Wort "Mathe".
Klartextalphabet
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One-Time-Pad: eine polyalphabetische Verschlüsselung. Wie bei der Vignère-Verschlüsselung wechselt man immer
zwischen verschiedenen Geheimtextalphabeten, die zueinander verschoben sind wie bei der Caesarverschiebung.
Anstatt immer das gleiche Schlüsselwort zu benutzen, hat man eine zufällige Reihenfolge von
Buchstaben, die zeigen welches Alphabet jeweils benutzt werden muss. So könnte ein One-Time-Pad aussehen:
Wenn das One-Time-Pad nur einmal benutzt wird, ist es 100% sicher, da man für jedes Zeichen jeden beliebigen
Buchstaben einsetzen und daher auch eine ganz falschen Text entschlüsseln kann. Der einzige Nachteil ist,
dass für jede Nachricht ein neues Pad erstellt und dem Empfänger überbracht werden muss. Und sobald
man der Versuchung, es zweimal zu benutzen, nicht widerstehen kann, ist es wieder möglich die Nachrichten
zu knacken.
Periode: die Strecke zwischen irgendeinem Punkt bis zum nächsten Punkt, der dem gleichen Muster entspricht.
Wird auch als Schwingungsweite bezeichnet.
Polyalphabetische Verschlüsselung: im Gegensatz zur monoalphabetischen Verschlüsselung wird jedem Buchstaben immer wieder ein
anderer zugeordnet. Der Schlüssel legt den Wechsel fest. Für ein Klartextalphabet gibt es also
mehrere Geheimtextalphabete.
Ein Beispiel dazu: Wählen wir als Methode die Vignère-Verschlüsselung und als Schlüssel "Mathe", so sieht das so aus:
Polygon: oder Vieleck; jede geschlossene Figur, die von Geraden begrenzt ist.
Beim regulären Polygon (gleichseitigen Vieleck) sind alle Seiten und Winkel gleich.
Für die Flächenberechnung wird das Polygon in Dreiecke zerlegt. Der Umfang ergibt
sich aus der Summe aller Seiten.
Pythagoräische Dreieckszahlen: drei ganze Zahlen a, b und c, für die gilt: a² + b²= c².
Die kleinstmögliche
Dreiergruppe 3, 4 und 5 war schon den Ägyptern bekannt und wurde von ihnen zur Konstruktion des
rechten Winkels benützt (Umkehrung des Pythagorassatz).
ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier rechten Winkel. Die Fläche ergibt sich,
wenn wir die Seite mit sich selber multiplizieren.
Der Umfang entspricht der Summe der vier Seiten.
Multiplizieren wir eine Zahl mit sich selber, so wie beim Quadrat die Länge der Seite, so ergibt das
eine Quadratzahl. 2 ergibt die Quadratzahl 4, 3 ergibt 9 usw. Wir sprechen von x², wenn wir sagen
wollen, dass es das Produkt von x×x ist.
Flächen von geometrischen Figuren werden in Quadrateinheiten angegeben. Dahinter ist der Gedanke,
dass man eine beliebige Fläche in eine quadratische verwandeln kann. Das geht sehr leicht beim
Dreick oder beim Rechteck, bei den meisten anderen Figuren kann aber nur eine Annäherung gefunden werden.
Rechteck: ein Viereck mit vier rechten Winkeln und je zwei gegenüberliegende Seiten
von gleicher Länge.
Für die Berechnung der Fläche F und des Umfangs U, siehe Abbildung links.
Ein spezielles Rechteck ist das Quadrat
mit vier gleichlangen Seiten.
Rechter Winkel: der kürzeste Weg von einem Punkt zu einer Gerade, schneidet diese
in einem rechten Winkel. Als Vierteldrehung verstanden, ist ein rechter
Winkel 90° oder π/2. Siehe auch unter Winkelmass.
Rechtwinkliges Dreieck: ein Dreieck, bei dem ein Winkel ein rechter (90°) ist.
Die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite heisst Hypotenuse.
Die andern beiden Seiten, welche den rechten Winkel einschliessen, heissen Katheten.
In der Trigonometrie bekommen auch die beiden Katheten eigene Namen.
Untersucht man die Verhältnisse zwischen einem Winkel und den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, so nennt man die Kathete, die dem relevanten Winkel anliegt Ankathete, die dem Winkel gegenüberliegende Seite Gegenkathete.
Die Fläche lässt sich sehr leicht berechnen:
F = ½ ab
Schallwellen: sind abwechselnde Verdichtungen und Verdünnungen von Luft. Sie
entstehen, wenn ein elastischer Körper vibriert.
Wir hören nur regelmässige Schwingungen als Töne, unregelmössige hören wir als
Geräusch; schnellere Schwingungen als höhere Töne,
langsamere als tiefere.
Treffen mehrere regelmässige Schallwellen auf unser Ohr, so hören wir das als Klang.
Das Verhältnis ihrer Schwingungszahlen bestimmt das Intervall. Hier ein paar Verhältnisse und die dazugehörigen
Intervalle:
1:2 Oktave
2:3 Quinte
3:4 Quarte
So ergibt ein Schallwelle, die mit 800Hertz schwingt die Oktave zu einer, die mit 400Hertz schwingt.
Die ganzzahligen Vielfachen eines Tones werden Obertöne genannt. Von ihnen ist die Qualität eines Klanges abhängig.
Die Pythagoräer sahen in dieser Gesetzmässigkeit einen Beweis für die Göttlichkeit der
ganzen Zahlen. Sie experimentierten erst mit verschiedenen Seitenlängen. Ab dem 16.Jh wurde dann die
heutige Art von Streichinstrumenten entwickelt, bei denen auch ausgenützt wird, dass dickere Seiten
einen tieferen Ton erzeugen als dünnere, und der Ton bei stärkerer Spannung höher wird.
Schlüssel: eine Verschlüsselungsmethode kann mit einem Schlüssel verknüpft werden. Wählt man zum Beispiel die
Caesarverschiebung, so kann ein Schlüssel angeben, um wieviele Buchstaben das
Geheimtextalphabet verschoben ist. Zum Beispiel bei einen Schlüssel von 12 sehen Geheim- und
Klartextalphabet so aus:
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Bei einer Vignère-Verschlüsselung sagt uns der Schlüssel, welches der verschiedenen Geheimtextalphabete
wann gebraucht wird. Zum Beispiel wenn man den Schlüssel "math" hat, verschlüsselt man den ersten Buchstaben
des Klartexts mit dem Geheimtextalphabet das mit "m" anfängt. Den zweiten verschlüsselt man mit dem
"a" Alphabet und den dritten mit dem "t" Alphabet und der vierte mit dem "h" Alphabet. Dann fängt man wieder von vorne an.
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Senkrechte: auch Lot genannt. Eine Gerade, die eine andere Gerade in einem rechten Winkel schneidet. Von einem
Punkt aus ist es die kürzeste Verbindung zu einer Geraden.
Bei einem Dreieck gibt es die Mittelsenkrechten; das sind die drei Geraden, welche senkrecht zu den
drei Seiten stehen. Alle drei schneiden sich in einem Punkt. Von diesem Punkt aus kann ein Kreis
konstruiert werden, auf dem die Ecken des Dreiecks liegen (Umkreis).
Auch die Höhen sind Senkrechte. Sie schneiden sich ebenfalls in einem Punkt.
Steganographie: die Wissenschaft von versteckten Nachrichten. Das griechische "steganos"
heisst "bedeckt", und "graphein" bedeutet "schreiben". Um eine Nachricht zu verstecken, kann
sie zum Beispiel mit einem Pflanzensaft geschrieben werden, der erst sichtbar wird, wenn
das Schriftstück erhitzt wird.
Natürlich können Steganographie und Kryptographie auch kombiniert werden.
Substitution: jeder Buchstabe wir durch einen anderen ersetzt. Das kann eine zufällige Wahl sein,
oder man kann nach einem System vorgehen. Ein Beispiel dafür ist die Caesarverschiebung.
Teilmenge: eine Menge die Element einer anderen Menge ist. Zum Beispiel ist die Menge der Äpfel
eine Teilmenge der Menge der Früchte. Die Menge der Früchte ihrerseits ist
Teilmenge der Menge der Nahrungsmittel.
Transposition: die einzelnen Buchstaben einer Nachricht werden übernommen, aber anders angeordnet. Diese Art von
Verschlüsselung ist schon seit dem 5.Jh vor Christus überliefert. Schau dir dieses
Beispiel an:
Eine Nachricht wird so geschrieben, dass die Buchstaben immer abwechslungsweise einmal auf die obere und einmal
auf die untere Zeile zu stehen kommen.
r p n e l s t i h r s e
a u z l ä s d c g ü s n
Nachher wird zeilenweise zusammengefasst:
RPNELSTIHRSEAUZLÄSDCGÜSN
Trigonometrie: tri=drei gon=Seite metrein=messen
Untersucht die Verhältnisse von Seiten und Winkel in Dreiecken. Definitionen dazu
findest du im Hauptteil des Kapitels Trigonometrie.
Uhrensystem: ein endliches System. Es hat eine endliche (beschränkte und definierte)
Anzahl von Elementen, in unserem Fall Ziffern. Das meist benützte
Uhrensystem ist unsere Zwölfstundenuhr. Wenn wir die
12 überschreiten, kommen wir wieder zur 1. Wievielmal der Zeiger die Runde
macht, kümmert uns bei der Uhrzeit nicht.
Lies über Smart Joes Uhrensammlung!
Umkehrung des Pythagorassatz: ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn das Quadrat einer Seite der Summe
der Quadrate der beiden anderen Seiten entspricht. Wurde von den Ägyptern zur
Landesvermessung benützt.
Unendliches System: ein mathematisches System mit einer unbeschränkten Zahl von Elementen.
Die Menge der natürlichen Zahlen zum Beispiel ist unendlich,
da man auch noch zur grössten Zahl eine weitere addieren kann.
Verhältnis: die Beziehung zwischen zwei Teilen. Haben wir zum Beispiel zwei Strecken mit den
Längen 10m und 2m, so ist ihr Verhältnis 5:1, da 10:2 gleich 5:1 ist. Ein Verhältnis
von zwei Grössen x und y kann
mit dem Divisionszeichen geschrieben werden als x:y oder als Bruch x/y. (Ein Bruch ist
dasselbe wie eine Division. Es sind nur zwei verschiedene Schreibweisen!)
Viereck: ein Polygon mit genau vier Seiten. Ihre vier Winkel
ergeben zusammen 360°.
Viereruhr: ein Uhrensystem, das die vier Ziffern 0,1,2 und 3 hat.
Dieses System bezeichnet man als mod 4 (modulus: lateinisch für Mass; modulo 4: eine Vierergruppe
als Mass nehmend).
In mod 4 sind zwei Zahlen kongruent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches
von 4 ist.
Vignère-Verschlüsselung: eine polyalphabetische Verschlüsselung. Dem Klartextalphabet können bis zu 26 Geheimtextalphabete
entsprechen. Diese sind zueinander verschoben wie bei der Caesarverschiebung.
Die Zuordnung des Geheimtextalphabets zum
Klartextalphabet ändert sich von Buchstabe zu Buchstabe und wird durch einen
Schlüssel festgelegt.
Blaise de Vignère lebt im 16.Jh und war ein französischer Diplomat. Er kombinierte verschiedene bekannte
Verschlüsselungssysteme zu einem neuen, das nach ihm benannt wurde.
Winkelmass: ein Winkel kann als eine Drehbewegung verstanden werden. Wenn eine Gerade eine volle
Umdrehung gemacht hat, stimmt sie mit sich selber überein. Die volle Umdrehung entspricht
einem vollen Kreisbogen, kann also mit 360° oder mit 2π bezeichnet werden.
Ein rechter Winkel entspricht einem Viertel eines Kreisbogens, ist also 90° oder
π/2.
Ziehen: benützt du eine Maus, so kannst du damit zum Objekt gehen, das verschoben
werden soll, den linken Mausknopf klicken und mit runter gedrücktem Knopf das Objekt verschieben.
ein Dreieck, bei dem zwei Seiten gleich lang sind. Die Höhe hc lässt sich mit Hilfe
des Satzes des Pythagoras leicht berechnen, so dass es zur
Flächenberechnung nur die beiden Seitenlängen braucht.
Für die Berechnung der Fläche F und des Umfangs U, siehe Abbildung links.
ein Uhrensystem, das die vier Ziffern 0,1,2 und 3 hat.
Dieses System bezeichnet man als mod 4 (modulus: lateinisch für Mass; modulo 4: eine Vierergruppe
als Mass nehmend).
In mod 4 sind zwei Zahlen kongruent, wenn ihre Differenz ein Vielfaches
von 4 ist.
