Im 16.Jahrhundert untersuchte der italienische Mathematiker Galileo Galilei Körper in Bewegung. Er entdeckte dabei nicht nur die grundlegenden Gesetze der Bewegung, sondern erdachte sich auch ein neues Konzept um mathematische und physikalische Zusammenhänge darzustellen: die Funktion.

Im Gegensatz zu den Griechen war Galileo überzeugt, dass es sehr wichtig ist, Experimente durchzuführen und ihre Resultate genau auszuwerten; er wollte die Natur beschreiben, nicht erklären. Funktionen sind dazu besonders geeignet.

Beim Experimentieren fand Galileo das Gesetz, dass jeder Gegenstand, den man fallen lässt, seine Fallgeschwindigkeit beschleunigt, und zwar pro Sekunde um etwa 10m/sec. Die Distanz, die ein Objekt fällt, entspricht dem Quadrat der Fallzeit multipliziert mit dieser Beschleunigung. (Galileo hat seine Experimente ganz bewusst idealisiert. Sein Gesetz setzt voraus, dass kein Luftwiderstand vorhanden ist und dass der Körper nicht vor der untersuchten Zeit aufschlägt:))Wir können diesen Zusammenhang mit der folgenden Gleichung beschreiben:

d=t²×10.

Was sagt uns diese Gleichung? d steht für die Distanz und t sagt uns, wieviele Sekunden der Körper fällt. Das Spezielle an dieser Gleichung ist, dass wir nun für jede beliebige Fallzeit die dazugehörige Distanz berechnen können; für jedes t können wir d berechnen. Ausserdem sehen wir, dass es für jedes t genau ein d gibt. Gleichungen, welche diese beiden Bedingungen erfüllen, werden Funktionsgleichungen genannt.

Heutzutage werden Funktionen auf die von Euler entwickelte Art geschrieben. Das sieht dann so aus:

f(t)=t²×10.

Links vom Gleichheitszeichen steht der Name der Funktion f. Das t innerhalb der Klammern wird als Argument bezeichnet. Es ist die Variable, für die wir nun verschiedene Werte einsetzen werden. Wollen wir zum Beispiel herausfinden, wie weit ein Ball in zwei Sekunden fällt, so schreiben wir f(2). Um den Funktionswert von f(2) zu bekommen, setzen wir auf der rechten Seite für t 2 ein. In unserem Fall müssen wir also rechnen 2²×10=4×10=40. Der Ball fällt also in 2 Sekunden etwa 40m.

Gehen wir nun aber zurück zu den trigonometrischen Verhältnissen. Diese können auch als Funktionen beschrieben werden, und zwar als Funktionen von Winkeln. Zum Beispiel der Sinus: Für jeden spitzen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck können wir das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse berechnen, und es gibt für jeden Winkel nur einen solchen Wert. Also erfüllt der Sinus die beiden für eine Funktion vorausgesetzten Bedingungen. Wollen wir einen Sinus von 30° beschreiben, so notieren wir das so: sin(30°). Auf die gleiche Art werden die anderen Funktionen bezeichnet.