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In der modularen Arithmetik schreiben wir Gleichungen wie diese: 4 mod 8 = 12 mod 8. Schau dir diese Gleichung an. Ist sie korrekt? (Du kannst dir 4 mod 8 als Uhr mit acht Ziffern vorstellen, auf der der Zeiger zur 4 zeigt. 12 mod 8 benützt dieselbe Achteruhr. Bei diesem Ausdruck muss er zwölf Schritte von der 0 aus machen. Dazu macht der Zeiger zuerst eine volle Umdrehung (acht Schritte) und bleibt dann auf die 4 zeigend stehen. Das heisst, dass die obige Gleichung korrekt ist.)
Schau dir mal die Abbildung links an. Sie zeigt dir, welche Zahlen in mod 4 einander
entsprechen.
In der obersten Reihe siehst du die Elemente von mod 4 (oder der Viereruhr): 0,1,2 und 3.
In den unteren Reihen siehst du die fortlaufenden Zahlen so angeordnet, dass diejenigen,
die in der gleichen Spalte sind, in mod 4 einander entsprechen. So findest du zum Beidpiel 4 und 8
in der roten Spalte unterhalb 0, denn 4 mod 4 enspricht 0 und 8 mod 4 ebenfalls.
In der violetten Spalte sind alle Zahlen x, für die gilt x mod 4 entspricht 1.
(Das sind 5,9,13,...)Dunkelblau zeigt x mod 4 entspricht 2 und hellblau x mod 4 entspricht 3.
Wie du siehst, gibt es eine endliche Zahl Elemente, in mod 4 sind es genau vier. Dieser endlichen Zahl
Elemente können aber unendlich viele Zahlen zugeordnet werden.
Schau dir nun die nächste Abbildung an. Sie zeigt dir, wie die Zahlen in mod 7 zueinander
gehören. In der obersten Reihe sind wieder die Elemente, diesmal von mod 7.
Die rote Spalte dieser zweiten Tabelle zeigt alle Zahlen x, für die gilt: x mod 7 entspricht 0.
Bei der ersten Tabelle war rot x mod 4 entspricht 0. Für beide Spalten gilt also
x mod y entspricht 0, doch sind die jeweils entsprechenden Zahlen ganz verschieden.
Dies ist eine spezielle Eigenschaft der modularen Arithmetik.
Du kannst diese Zusammenhänge auf dem interaktiven mod 9 Umwandler ausprobieren. Gib eine beliebige Zahl ein und klicke auf "GO". Der Umwandler zählt Schritt um Schritt rückwärts. Wenn er die 0 anzeigt, zeigt dir der Zeiger das Resultat. Gibst du zum Beispiel 10 ein, so geht der Zeiger einmal herum und bleibt dann bei der 1 stehen. Das sagt dir, 10 mod 9 entspricht 1. Bei 12 macht er eine Drehung und bleibt bei der 3 stehen: 12 mod 9 entspricht 3.
Probiere mal 1,10,2,11,20,3,12 und 21 aus. Erkennst du ein Schema?
Es gibt ein Schema für mod 9! Zähle alle Ziffern einer Zahl zusammen. Ergibt das eine mehrstellige Zahl, so mache dasselbe immer wieder, bis du zu einer einstelligen Zahl kommst. Diese ist das Resultat für die Umwandlung in mod 9. Hier ein Beispiel: Um herauszufinden, was 1324 in mod 9 ist, addiere 1+3+2+4=10, addiere weiter 1+0=1. Das heisst, 1324 in mod 9 entspricht 1.
